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      世界數學家排名前十(世界數學家排名前200名)

      轉載來源 | 華院計算

      弗拉基米爾·阿諾德(Vladimir Igorevich Arnold,1937年6月12日—2010年6月3日)是公認的20世紀最偉大的數學家之一。這里雖然有個“之一”,但還有個“最”字,因此絕對不同凡響。

      圖1弗拉基米爾·阿諾德(昵稱Dima)

      【一】

      阿諾德出生在烏克蘭敖德薩(Oddesa),當時烏克蘭屬于蘇聯,但再往前到公元9世紀則是基輔羅斯國。阿諾德的父親叫伊戈爾(Igor V. Arnold,1900-1948),是個數學家,在阿諾德11歲時去世;母親妮娜(Nina A. Isakovich,1909-1986)是個藝術歷史學家。阿諾德祖輩幾代人都是科學家,而他本人后來成為家族的第四代數學家。

      阿諾德小時候,用他自己的話說,“我一直討厭死記硬背。因此小學老師對我父母說,像我這樣的低能兒永遠掌握不了乘法表?!?/p>

      第一個引起阿諾德對數學感興趣的是一位名叫伊萬·莫羅茲金(Ivan V. Morozkin)的老師。老師給小學生阿諾德一道算術題:兩位女子從兩個地方同時出發相向而行;她們走路快慢不一樣,但正午12點在旅途上相遇了;之后,她們分別在下午4點和9點到達對方的出發地點;問她們是早上幾點鐘出發的?那時阿諾德沒有學過代數,但他用自己的算術解法找到了答案。這道數學題的解決給他帶來了“發現”的樂趣。

      阿諾德13歲時,一位當工程師的叔叔跟他講解微積分并用來解釋一些物理現象,大大激發了他對數學的興趣。于是他開始自學父親留給他的一些數學書籍,其中包括歐拉和厄密特的著作。

      阿諾德中學畢業后進入了莫斯科國立羅蒙諾索夫大學(簡稱莫斯科國立大學)。在那里,他的指導老師是著名數學家安德烈·柯爾莫哥洛夫(Andrey N. Kolmogorov,1903-1987)。

      1956年,柯爾莫哥洛夫證明了一條重要的數學定理:任意有限個變量的連續函數總可以約化為三個變量連續函數的疊加。半個多世紀之前即1900年,大衛·希爾伯特(David Hilbert,1862-1943)在巴黎第二屆國際數學家大會上做了題為“數學問題”的著名演講,條列了他認為最重要的23個數學問題,其中第13問題說上面的約化表示不可能簡單到只含有兩個變量。在柯爾莫哥洛夫指導下,當年19歲的大三學生阿諾德,證明了這個要求是可以實現的,即任何有限個變量的連續函數都可以用有限數量的兩個變量的連續函數的疊加來表示,否定了希爾伯特第13問題的猜想。這個漂亮的結果后來被稱為“柯爾莫哥洛夫-阿諾德表示定理”。阿諾德因此于1958年榮獲莫斯科數學學會頒發的青年數學家獎。

      圖2阿諾德(莫斯科國立大學,1957)

      1959年,阿諾德從莫斯科國立大學數學力學系畢業,之后留校任教。在那里,他于1961年獲莫斯科應用數學研究所授予博士候選人學位,論文題目是“On the representation of continuous functions of three variables by the superpositions of continuous functions of two variables”,就是上面提到的解決希爾伯特第13問題的工作總結及相關研究。1963年,他獲莫斯科應用數學研究所授予正式博士學位,論文題目是“Small denominators and stability problems in classical and celestial mechanics”。1965年,阿諾德在莫斯科國立大學晉升為教授。1986年,他轉到了莫斯科 Steklov 數學研究所工作。從1993年開始,他在法國巴黎 Dauphine 大學兼職,通常春夏天在巴黎、秋冬天在莫斯科,至2005年為止。期間,1999 年他在巴黎遇到嚴重自行車事故,導致創傷性腦損傷。雖然他在幾個星期后恢復了意識,但留下健忘癥,在醫院有一段時間甚至認不出自己的妻子。不過他后來恢復得很好。

      2010年6月3日,他因急性胰腺炎在巴黎辭世,享年73歲。他的遺體被送回莫斯科,安葬在 Novodevichy 修道院。

      圖3阿諾德墓碑(莫斯科)

      【二】

      阿諾德是蘇聯-俄羅斯數學學派承前啟后的人物,他的學術貢獻廣泛、豐富而且深刻。

      阿諾德在數學和物理多個領域做出了重要貢獻,包括微分方程、動力系統、拓撲學、突變論、實數代數幾何、辛幾何、變分法、經典力學、流體力學、磁流體動力學以及奇點理論,其中好幾個方向都是開創性的,特別是在動力系統和辛幾何方面。阿諾德對奇點理論的貢獻豐富了突變理論并改變了這一領域的面貌和進程。他關于哈密頓辛同胚與拉格朗日截面不動點的猜想推動了后來的 Heegaard Floer 同調性理論發展。

      阿諾德最出名的可能是他參與的動力系統理論中的 KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)定理,其背景是太陽系穩定性這個歷史悠久的三體問題。研究起源于柯爾莫哥洛夫留給阿諾德在讀大學二年級學生們的一次相關課外作業。后來建立起來的定理刻畫了可積哈密頓系統受微小擾動后其解的長期性態,被認為是牛頓力學在20世紀的一個重大進展。定理最先由柯爾莫哥洛夫在1954年世界數學家大會上的報告中提出,大意是非退化的可積哈密頓系統在保守的微小擾動作用下,雖然系統某些解的不變環面一般都會受到破壞,但仍會有相當多的環面被保存下來,即相空間中仍然保留有許多簡單運動形態的相流。阿諾德把它推廣到弱不可積系統,并通過對運動穩定性條件的分析,說明三維以上非線性系統的軌道運動出現混沌(chaos)現象具有普遍性。研究發現,破壞定理中的任何一個條件都會使系統的軌道運動變得混沌。這些論斷后來分別由阿諾德和德國裔美國數學家于爾根·莫澤(Juergen K. Moser,1928-1999 )給出了嚴格的證明。當年莫澤在天體力學上已經頗有建樹,他因對該定理的貢獻于1962年應邀訪問了莫斯科,后來又被邀請為《數學評論》寫了一篇關于柯爾莫哥洛夫研究工作的評述,從而讓這個重要結果廣為人知。

      圖4阿諾德和莫澤(圣彼得堡,1991)

      與此同時,阿諾德還發現了一個極其重要而有趣的被稱為“阿諾德擴散”的現象。他指出,在穩定的不變環面之間可能存在一些貌似隨機的軌道在隱蔽地游蕩。雖然這一種復雜動力學行為的內在機制至今尚未清楚,但是阿諾德的分析清晰地描繪了有序與無序運動的共存和交錯,那是今天周知的混沌系統的一個共同特征。

      在混沌理論中廣為人知的還有以他命名的“阿諾德貓映射”(Arnold cat map)和“阿諾德舌”(Arnold tongue)。

      阿諾德貓映射由下面的迭代公式來定義:

      雖然這個迭代關系形式簡單,但是它有好幾個頗為優雅的特性:(1)它是對稱可逆的,并且逆矩陣元素也是整數;(2)它的行列式等于1,因此是保面積變換;(3)它是環面雙曲自同構映射,有唯一的雙曲型不動點;(4)它是拓撲傳遞的、遍歷的和混合的;(5) 它是結構穩定的,等等。這些性質保證了它具有典型的混沌特性。直觀地說,它的迭代可以實現下面的圖像變換:

      圖5阿諾德貓映射實現圖像變換

      這幅貓照片最早是阿諾德為解釋他的迭代映射公式而使用的,因而得名“貓映射”。左邊的貓照片經上述變換后變成了右邊的照片,其中間步驟變大了的圖像是用來解釋原變換由變寬和變高兩個變換復合而成的:

      這個復合變換完成之后,取模1的運算便把照片恢復到原來的尺寸。容易想象,用阿諾德的映射把貓照片反復迭代多次以后,最后映射出來的照片就完全不可辨認了,達到了信息隱藏的目的。因為映射可逆,混亂的照片可以還原。因此,這個混沌的貓映射在信息隱藏和數字保密通訊中簡單好用,至今被廣泛地用來作加密程序設計。

      至于“阿諾德舌”,是在可視化一些動力系統的旋轉數或某些不變屬性時,根據其參數變化而產生的圖像會產生像舌頭形狀的斑圖。在涉及振蕩特性的多種自然現象中,例如人體心電圖、生物酶濃度變化以及鎖相環電路等,經常都可以觀察到周期振蕩在相空間中的阿諾德舌圖形。

      1965年,阿諾德參加了比利時數學家雷內·湯姆(René Thom,1927-1975)在巴黎高等科學研究所(Institut des Hautes Etudes Scientifiques,IHES)舉辦的關于“突變”(catastrophe)理論的數學研討會。這次活動,用阿諾德的話來說,“深刻地改變了我的數學世界”。此后,奇點理論(singularity theory)成為了阿諾德的主要研究興趣之一,而他在該領域最著名的成果是對各種簡單奇點的明確分類。阿諾德厘清了其中的光滑映射奇點并把它們準確清晰地描繪出來。他把奇點理論的研究目標定義為描述幾何對象如何依賴參數微小變化下突然出現特大變化(即突變)的機理。

      阿諾德還把昂利·龐加萊(Henri Poincaré,1854-1912)的最后一個幾何定理即“龐加萊-伯克霍夫定理”推廣到高維,并作出了“阿諾德猜測”,將哈密頓辛同胚的不動點的數量與底層流形的拓撲聯系起來,成為辛幾何(symplectic geometry)數學分支后來許多開創性研究成果的動力和源泉。他和學生阿斯科爾德·霍萬斯基(Askold Khovanskii,1947-)一起,還開創了一門全新的拓撲伽羅華理論(topological Galois theory)。

      此外,在經典力學方面,阿諾德對旋轉剛體的歐拉方程和流體動力學的歐拉方程作出了一個統一的幾何解釋,把以前被認為不相關的兩個主題有機地連接了起來。他還為許多與流體運動及其湍流相關的困難問題提供了數學解釋和解答。例如,阿諾德對理想不可壓縮流體的運動方程給出了一個非常優美的數學刻畫,把它視為保體積微分同胚組成的無窮維李群上的測地線方程,進而清晰地揭示了流體運動內在不穩定性的幾何根源。

      【三】

      阿諾德認為數學“是關于真理的科學”,“數學是物理學的一部分”,而物理學的本質是幾何,因此他推崇物理和幾何的思考方式。他還認為,數學是“發現”而不是“發明”。他畢生都在追求數學“發現”的樂趣。

      阿諾德的教學指導思想和方法與法國布爾巴基(Bourbaki)學派截然相反。他經常直言不諱地批評數學高度抽象化和形式化的趨勢,說:“在20世紀中葉,人們試圖嚴格地區分物理學和數學,造成的后果是災難性的。整整一代的數學家在對他們所從事的科學的另一半極其無知的情況下成長,對其他的科學自然就更無知了?!睘榇?,他還專門出版了《實驗數學》(Experimental Mathematics)一書,指出嚴格的數學論證常常需要計算、試錯、猜測以及數值驗證,而不只是抽象的邏輯推理。

      阿諾德以其嚴謹的數學描述、直覺的寫作風格以及輕松的教學方式聞名。他在莫斯科和巴黎長期舉辦數學討論班,堅持了約30年,培養了一批杰出的年輕數學家。他的學術著作包括傳統的數學專業主題如《常微分方程》、《偏微分方程講義》、《經典力學的數學方法》、《經典力學和天體力學中的數學論題》,當然也有非常專門的主題如《奇點理論》、《可微映射的奇點理論》、《突變理論》、《常微分方程的幾何方法》、《實數代數幾何》、《平面曲線和焦散曲線的拓撲不變量》、《動力學、統計學及伽羅華域上的投影幾何》以及《動力系統:1-8卷》。其中,阿諾德的《經典力學的數學方法》一書特別有名,他用辛幾何的框架給經典力學進行了一次徹底的改造。這本書被稱為“幾何力學的圣經”。然而,他一些書的寫作有時候會受到批評,說他對于學科內容的處理很恰當,但常常省略了太多的細節,讓學生無法像他本人那樣毫不費力地證明那些艱深的定理。不過這時他會自辯,說他的書是寫給“那些真正希望了解它的人”看的。阿諾德在平時教學中有一個習慣,就是給學生出大量的技巧性練習題,其中一批精選的題目收集在他的數學習題集《Arnold’s Problems》之中。

      圖6阿諾德學術著作選示

      阿諾德對數學史非常感興趣。他喜歡研究經典,最著迷的是惠更斯、牛頓和龐加萊的著作,并且多次在報告中去討論他們作品中看到而尚未被探索的深刻思想。他還說通過學習菲利克斯·克萊因(C. Felix Klein,1849-1925)的書《19世紀數學的發展》讓他學到了很多數學歷史和數學思想。

      大家都知道數學巨匠歐拉在一生繁忙的數學研究中不僅親自為青少年編寫數學課本,撰寫通俗科普讀物,還經常抽空到大學和中學去講課。歐拉晚年幾乎雙目完全失明,但他仍然給青年學生們編寫了一本《關于代數學的全面指南》。事實上,很多大數學家都把數學科普教育和培養青少年一代視為己任。阿諾德也不例外。

      1960年代,阿諾德在莫斯科給中小學生們講授群論。他后來回憶道:“我回避了任何的公理,盡可能讓內容貼近物理。在半年內,我就教給了他們關于一般的五次方程不可解性的阿貝爾定理。以同樣的方式,我還教給了小學生們復數、黎曼曲面、基本群以及代數函數的單值群?!边@門課程的內容后來成書出版,名叫《問題中的阿貝爾定理》(The Abel Theorem in Problems)。

      阿諾德還為青少年學生寫了一本《講義和問題:給年輕數學家的禮物》(Lectures and Problems: A Gift to Young Mathematicians),甚至還寫了一本《給5至15歲兒童的數學問題書》(Problems for Children 5 to 15 Years Old),里面列出了77個非常有趣的初等數學問題和答案。他說,“2004年春,我在巴黎寫了這些問題。一些在巴黎的俄羅斯居民邀請我去協助他們培養一代有思想有文化的小孩子。在西方,俄羅斯的這一傳統遠遠超過了別的俄羅斯傳統?!?/p>

      圖7阿諾德和數學班一位小女孩

      阿諾德喜歡運動,小時候就經常去爬山和遠足。后來在莫斯科的日子里,他經常和學生和同事們去長途滑雪、到莫斯科河冬泳、騎自行車越野、甚至會揚帆出海好幾天。他很有個性,爭論時語言激烈尖銳是眾所周知的,特別到了晚年脾氣還變得有些暴躁。數學坊間關于阿諾德的小故事頗多,這里只講他兩則軼事。

      阿諾德對學術界里拉幫結派的現象非常反感。他曾引用莫斯科國立大學的數學家老師伊萬·彼得羅夫斯基(Ivan G. Petrovsky,1901-1973)的話,說“真正的數學家決不會拉幫結派,只有弱者為了生存才會加入幫派。他們可以聯結很多各方面的人,但其本質總是為了解決自我的社會生存問題?!?/p>

      另外,沒有記錄說阿諾德參加過奧林匹克數學競賽。他似乎對此不以為然。在2012年美國數學學會《Notices of the AMS》雜志的一次訪談中,阿諾德說:“當 90 歲的阿達瑪(Jacques S. Hadamard,1865-1963) 向柯爾莫哥洛夫描述他參加 Concours Général(大致相當于我們的數學奧林匹克)的情景時,他依然很興奮。當年阿達瑪只得了個二等獎,而獲得一等獎的那個學生后來也成為數學家,但比阿達瑪差多了!一些奧林匹克冠軍后來一事無成,而許多杰出的數學家并沒有獲得過奧林匹克獎牌?!碑斎?,凡事不絕對,例如陶哲軒(Terence Chi-Shen Tao,1975-)就是個例外。

      【四】

      阿諾德一生榮獲的主要獎勵條列如下:

      • 1965年,阿諾德和導師柯爾莫哥洛夫一起榮獲列寧獎(蘇聯國家獎);

      • 1982年,獲克拉福德(Crafoord)獎,表彰他對非線性微分方程理論的貢獻;

      • 1983年,被選為美國科學院外籍院士;

      • 1984年,被選為巴黎科學院外籍院士;

      • 1987年,被選為美國藝術與科學院外籍院士;

      • 1988年,被選為倫敦皇家學院外籍院士;

      • 1990年,當選為蘇聯科學院(1991年后成為俄羅斯科學院)院士;

      • 1992年,獲俄羅斯科學院羅巴切夫斯基(Lobachevsky)獎;

      • 1994年,獲以色列哈維(Harvey)獎,表彰他對動力系統、奇點理論和幾何分析的貢獻;

      • 1996年,出任莫斯科數學學會主席,至2010年;同年,出任國際數學家聯盟副主席兼執行委員,至2002年;

      • 1997年,獲俄羅斯自然科學院卡皮察(Kapitsa)科學發現獎章;

      • 2001年,獲美國物理學會海涅曼(Heineman)數學物理獎,表彰他在動力系統和奇點理論及其在經典力學、天體物理學、統計力學、流體力學和光學應用中的奠基性貢獻;

      • 2001年,獲沃爾夫(Wolf)獎,表彰他“對很多個不同數學學科做出了重大貢獻;他的許多研究論文、書籍和講座,加上他深厚的學識和高度的熱情,對整整一代數學家產生了深遠的影響”;

      • 2007年,獲俄羅斯國家獎;

      • 2008年,獲邵逸夫數學科學獎,表彰他“對數學物理廣泛而深遠的杰出貢獻”。

      圖8邵逸夫數學科學獎頒獎典禮(2008)

      (左:阿諾德;中:香港特首曾蔭權;右:邵逸夫)

      此外,阿諾德還獲得多所大學授予榮譽學位,包括:巴黎 P-M 居里大學(1979)、英國 Warwick 大學(1988)、荷蘭 Utrecht 大學(1991)、意大利 Bologna 大學(1991)、西班牙馬德里 Complutense 大學(1994)和加拿大多倫多大學(1997)。

      最后值得提及的是,1974年37歲的阿諾德獲國際數學聯盟菲爾茲獎章(Fields medal)提名??墒?,由于蘇聯政府的干預,該獎項最后被撤回。原因是阿諾德在1968年參與了蘇聯99位數學家聯名的一封公開信,要求政府釋放因不同政見而被關進精神病院的數學家亞歷山大·葉賽寧-沃爾平(Alexander Esenin-Volpin,1924-2016)。他不但失去了應得的菲爾茲獎,在 1970-1980 年代十多年時間里還不被允許出國參加國際會議和學術活動。實際上,那99位簽名的數學家中還有1970年菲爾茲獎獲得者、拓撲學家謝爾蓋·諾維科夫(Sergei P Novikov, 1938-),當年同樣被禁止出國領獎。諾維科夫在2005年也獲得沃爾夫獎。此前,另一位烏克蘭出生的蘇聯數學家伊斯雷爾·蓋爾范德(Israel M. Gelfand,1913-2009)也因為是99人之一,1978年獲沃爾夫獎后被禁止出境領獎,結果十年后才有機會去補領獎章。

      圖9阿諾德(2006)

      【五】

      和阿諾德頗有緣份的一位重要數學家是史蒂夫·斯梅爾(Stephen Smale,1930-)。

      阿諾德在1995年的一次學術訪談中回憶道:“1961年斯梅爾來莫斯科訪問,他是我遇到的第一位外國數學家。他對俄羅斯在動力系統方向的研究以及對我個人的影響都是巨大的?!彼姑窢柈斈甑谝淮卧L問莫斯科,期間他見到了柯爾莫哥洛夫、阿諾德、德米特里·阿諾索夫(Dmitri V. Anosov,1936-2014)和雅科夫·西奈(Yakov G. Sinai,1935-),告訴了他們一個猜想,即有無窮多周期軌道的結構穩定系統可能存在。該類系統后來被發現具有“斯梅爾馬蹄”(Smale Horseshoe)。

      斯梅爾于1995-2001以及2009之后很長一段時間都在香港城市大學工作。他在2012年美國數學學會《Notices of the AMS 》雜志紀念阿諾德的??谢貞浾f:“在 1995 年秋季學期,阿諾德應邀訪問香港……我也剛到香港工作。他和我經常一起去香港郊野公園徒步遠足。他的體能相當令人佩服。那時,……我們發現在大多數有爭議的數學問題中我倆都站在同一邊,尤其是突變理論?!?/p>

      1998年,時任國際數學家聯盟副主席的阿諾德受希爾伯特23個問題的啟發,邀請斯梅爾為新千禧之年的到來提出21世紀若干重要數學問題。于是斯梅爾提出了18個尚待解決的問題,后于1999年正式發布。其中,有3個問題目前已經得到解決:2001年澳大利亞數學家沃里克·塔克(Warwick Tucker,1970-)證明了洛倫茨混沌吸引子的存在性;2003年俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼(Grigori Y. Perelman,1966-)證明了龐加萊猜想,以及C. Beltrán、L. M. Pardo、F. Cucker、P. Bürgisser、P. Lairez等人各自部分完成的關于一個在平均意義下以多項式時間求解一個多項式方程組的問題。剩下的15個問題呢,包括了周知的黎曼猜想、N=NP 是否成立、希爾伯特關于極限環的第16問題、納維-斯托克斯方程以及雅可比猜想等等,就留給新一代的數學家們了。

      圖10阿諾德(2008)

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